Numere complexe: ce s-a dat la Bac M1, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Bacalaureat M1 pe tema Numere complexe, în 2010–2026: 45 de cerințe din 45 de probe oficiale, grupate pe ani, fiecare cu subiectul din care vine și cu rezolvarea. Nu e o lecție și nu e o listă de formule — e ce s-a cerut efectiv, cerință cu cerință. Toate cad la Subiectul I, adică în cerințele scurte de la început. Examenul se dă în clasa a XII-a (clasa a 12-a, clasa 12), dar tema se predă din clasa a X-a, iar la Bac se cere în forma de mai jos.

De unde vin cerințele astea. Toate sunt din documentele oficiale ale Ministerului Educației — cele 91 de probe de Bacalaureat M1 din 2010–2026, cu modelele, sesiunile din iunie și august, sesiunile de rezervă, sesiunile speciale și simulările naționale —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai din documentul CNPEE. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt ale noastre. Numărătoarea de aici e pe cerințe (subpunctele a) b) c) se numără separat), iar cea de pe ce intră la Bac la matematică e pe probleme (o problemă de 15 puncte intră întreagă la un capitol). Totalul e același, se împarte altfel.

Cât de des cade tema «Numere complexe» la Bac M1

45 de cerințe din cele 1.638 ale corpusului (2,7 %), în 45 de probe din 91.
A apărut în 17 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
Cade numai la Subiectul I (45 de cerințe la Subiectul I, 0 la al II-lea, 0 la al III-lea).
Aduce 225 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
Dificultatea medie: 1,00 din 3 — în general cerințe de deschidere, din cele care se rezolvă în câteva rânduri.

Din cele 45 de cerințe, 29 sunt din sesiuni de examen (iunie, august, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește numere complexe ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din poziția subpunctului în problemă (a = 1, b = 2, c = 3; Subiectul I = 1). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele pe tema «Numere complexe», an cu an

2026 — 3 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numărul complex $z = 3 - i$ . Arătați că $z (z + 2 i) = 10$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $3 i (2 + i) + 2 (2 - 3 i) = 1$ , unde $i^{2} = - 1$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numărul complex $z = 2 + i$ . Arătați că $z + \overset{z}{ˉ} + z \cdot \overset{z}{ˉ} = 9$ , unde $\overset{z}{ˉ}$ este conjugatul…

2025 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $3 (4 - 5 i) + 5 i (3 + 2 i) = 2$ , unde $i^{2} = - 1$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numerele complexe $z_{1} = 1 - i$ și $z_{2} = 2 + i$ . Arătați că $2 z_{1} + i z_{2} = 1$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numerele complexe $z_{1} = 4 + i$ și $z_{2} = 2 - 4 i$ . Arătați că $i \cdot z_{1} + z_{2} = 1$ .

2024 — 1 cerință

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $2 (1 - 2 i) + i (4 + i) = 1$ , unde $i^{2} = - 1$ .

2023 — 4 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numărul complex $z = 3 + i$ . Arătați că $z (z - 2 i) = 10$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $(2 - i)^{2} + i (4 + i) = 2$ , unde $i^{2} = - 1$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $(a + bi) (1 + i) = 4$ , unde $i^{2} = - 1$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numerele complexe $z_{1} = 1 + 2 i$ și $z_{2} = 1 - i$ . Arătați că $z_{1}^{2} + 4 z_{2} = 1$ .

2022 — 3 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $2 i (3 - i) - 6 i = 2$ , unde $i^{2} = - 1$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $5 (1 + 2 i) - 2 i (5 - i) = 3$ , unde $i^{2} = - 1$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numerele complexe $z_{1} = 1 - 2 i$ și $z_{2} = 2 + i$ . Arătați că $(z_{1} + i) (z_{2} - 1) = 2$ .

2021 — 2 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $(1 + i)^{2} - 2 (1 + i) + 2 = 0$ , unde $i^{2} = - 1$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați modulul numărului complex $z = (2 + 3 i) (2 - 3 i) - (9 - 3 i)$ .

2020 — 2 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numărul complex $z = 2 + i$ . Arătați că $z^{2} - 4 z + 5 = 0$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că numărul $z = (1 - i 2) (1 + i 2)$ este natural, unde $i^{2} = - 1$ .

2019 — 3 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că numărul $n = (3 - i 2) (3 + i 2)$ este întreg, unde $i^{2} = - 1$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numerele complexe $z_{1} = 3 - i$ și $z_{2} = 8 - 3 i$ . Arătați că $3 z_{1} - z_{2} = 1$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați modulul numărului complex $z = (2 - i) (3 + 2 i) - 4 (1 + i)$ .

2018 — 2 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numărul complex $z$ , știind că $2 \overline{z} - z = 1 - 3 i$ , unde $\overline{z}$ este conjugatul lui $z$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numărul complex $z = 1 - 2 i$ . Arătați că $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ .

2017 — 6 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numerele complexe $z_{1} = 2 + 3 i$ și $z_{2} = 1 + 2 i$ . Arătați că $2 z_{1} - 3 z_{2} = 1$ . sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $(5 - 4 i)^{2} + (5 + 4 i)^{2} = 18$ , unde $i^{2} = - 1$ . sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numărul complex $z = 2 + i$ . Arătați că $z + \overset{z}{ˉ} + z \overset{z}{ˉ} = 9$ , unde $\overset{z}{ˉ}$ este conjugatul lui $z$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numerele complexe $z_{1} = 5 + 2 i$ și $z_{2} = 3 - 3 i$ . Arătați că $3 z_{1} + 2 z_{2} = 21$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numerele complexe $z_{1} = 2 + 3 i$ și $z_{2} = 4 - 6 i$ . Arătați că numărul $z_{1} z_{2} + 2 z_{1} + z_{2}$ este real. simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $\frac{2 + i}{2 - i} + \frac{2 - i}{2 + i} = \frac{6}{5}$ , unde $i^{2} = - 1$ .

2016 — 1 cerință

simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că $(a + b) (i + 1) = (a - b + 1) (i - 1)$ , unde $i^{2} = - 1$ .

2015 — 3 cerințe

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numerele complexe $z_{1} = 2 + 3 i$ și $z_{2} = 1 - 3 i$ . Arătați că numărul $z_{1} + z_{2}$ este real. modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numărul complex $z = 1 + i$ . Calculați $(z - 1)^{2}$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați partea reală a numărului complex $z = \frac{3 + 2 i}{2 - 3 i}$ .

2014 — 5 cerințe

sesiunea august — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați partea reală a numărului complex $z = 1 + 2 i + 3 i^{2}$ . sesiunea de rezervă (august) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Se consideră numărul complex $z = 1 + i$ . Calculați $z^{2}$ . sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că $3 (2 + 4 i) + 2 (1 - 6 i) = 8$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că $a + ib$ este conjugatul numărului complex $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ . simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că $\frac{1 + i}{1 - i} = a + ib$ și $i^{2} = - 1$ .

2013 — 1 cerință

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că numărul $a = 3 (3 - 2 i) + 2 (5 + 3 i)$ este real.

2012 — 2 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați modulul numărului complex $(1 + i)^{2}$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați partea reală a numărului complex $(1 + 2 i)^{2}$ .

2011 — 1 cerință

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați modulul numărului complex $z = 1 - i 3$ .

2010 — 3 cerințe

sesiunea iunie — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Calculați $((1 - i) (i - 1))^{4}$ . sesiunea de rezervă (iunie) — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Arătați că numărul $i 2 - 1$ este soluție a ecuației $z^{2} + 2 z + 3 = 0$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul I, cerința 1 · 5 p · dificultate 1/3 — Determinați partea reală a numărului complex $(3 + i)^{6}$ .

Toate subiectele unui an, la un loc: 2026 · 2025 · 2024 · 2023 · 2022 · 2021 · 2020 · 2019.

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

Înmulțirea numerelor complexe. Puterile lui i — clasa a X-a
Egalitatea a două numere complexe — clasa a X-a
Coliniaritate, paralelism și perpendicularitate cu numere complexe — clasa a X-a
Adunarea și scăderea numerelor complexe — clasa a X-a
Conjugatul unui număr complex — clasa a X-a
Împărțirea numerelor complexe — clasa a X-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Numere complexe», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

ce intră la Bac la matematică spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
subiectele de Bac M1 e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a XII-a.

Alte teme cu pagină proprie

Capitolul Numere complexe are o singură temă destul de mare pentru o pagină a ei — asta. Restul temelor cu pagină proprie, în ordinea rulajului:

Derivate și reguli de derivare — 159 de cerințe
Legi de compoziție — 149 de cerințe
Integrala definită — 145 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu numere complexe s-au dat la Bac M1?

45 de cerințe în 2010–2026, din 45 de probe oficiale. Le numărăm pe cerințe, adică pe ce se punctează separat în barem: subpunctele a), b) și c) ale unei probleme de 15 puncte se numără ca trei cerințe, nu ca una.

În câți ani din 17 a apărut tema?

În 17, între 2010 și 2026, dintre care 10 cerințe în sesiunile de examen de după 2020.

Tema «Numere complexe» cade la Subiectul I sau mai încolo?

La Subiectul I cad 45 din cele 45 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt cerințe scurte, de câte 5 puncte, cu răspuns direct.

Câte puncte aduce, dacă le prind pe toate?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 225 de puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 5,0 puncte din cele 90.

E o temă ușoară?

Tema stă în zona de început a probei, unde cerințele se rezolvă în câteva rânduri. Dificultatea medie iese 1,00 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă tema e de clasa a X-a?

De la Înmulțirea numerelor complexe. Puterile lui i, lecția care o predă de la zero, apoi Test: forma algebrică și operațiile cu numere complexe, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Sunt subiectele astea oficiale?

Da. Toate cele 91 de probe sunt documente ale Ministerului Educației (CNPEE), transcrise cu enunțul întocmai. Ale noastre sunt rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme.