Formule pentru Evaluarea Națională la matematică (clasa a VIII-a)

Pe pagina asta sunt cele 165 de formule de care ai nevoie la Evaluarea Națională la matematică, strânse din materia claselor a V-a – a VIII-a și grupate pe 16 teme, în ordinea capitolelor din programă: numere, algebră, date și probabilități, apoi geometria plană și corpurile. La fiecare formulă scrie, într-o propoziție, când o folosești, iar numele ei duce la pagina formulei, cu legenda și un exemplu rezolvat. La fiecare temă găsești și legătura spre cerințele date efectiv din ea în subiectele oficiale, plus o cerință tipică, rezolvată pe scurt.

Lista e făcută pentru recapitularea dinaintea examenului, nu în locul lecțiilor: dacă o formulă nu-ți spune nimic, începe de la lecția temei. Ce capitole intră și cât au cântărit în subiectele din 2021–2026 e pe pagina ce intră la Evaluarea Națională. Toate formulele, pe toate clasele, sunt în culegerea de formule.

Actualizat: 7 octombrie 2026.

Ce nu e aici: formulele de liceu. Formula cu discriminant pentru ecuația de gradul al doilea, $\Delta =b^2-4ac$, se învață abia în clasa a IX-a; la clasa a VIII-a, ecuațiile de forma $a{x}^2+bx+c=0$ se rezolvă prin descompunere în factori, cu formulele de la tema 6.

1. Operații, divizibilitate, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.

Ce s-a dat la examen: ordinea operațiilor · divizibilitate.

• Ordinea operațiilor: întâi parantezele (rotunde, drepte, acolade), apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile — regula oricărui calcul din Subiectul I.
• Împărțirea cu rest: $D=\hat{I}\cdot C+R$, cu $R<\hat{I}$ — când afli un număr din cât și rest sau restul împărțirii unui număr.
• Factorul comun: $a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)$ — scurtează calcule de felul $37\cdot 64+37\cdot 36$.
• Criteriul cu 2, criteriul cu 5 și criteriul cu 10: decide ultima cifră — pară, $0$ sau $5$, respectiv $0$.
• Criteriul cu 3 și criteriul cu 9: decide suma cifrelor — când cauți cifra lipsă dintr-un număr de forma $\overline{4a7}$.
• Criteriul cu 4 și criteriul cu 25: decide numărul format din ultimele două cifre.
• Descompunerea în factori primi: $n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot \dots$ — primul pas pentru c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și pentru numărul divizorilor.
• C.m.m.d.c.: factorii comuni, la puterea cea mai mică — la probleme cu „cel mai mare număr de pachete identice”.
• C.m.m.m.c.: toți factorii, la puterea cea mai mare — la numitorul comun și la probleme cu „după câte zile se întâlnesc din nou”.
• Legătura c.m.m.d.c. – c.m.m.m.c.: $(a;b)\cdot [a;b]=a\cdot b$ — afli unul dintre ele când îl știi pe celălalt.
• Numere prime între ele: $(a;b)=1$ — condiția pentru o fracție ireductibilă.

Cerință tipică: „Cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 36 este …”. Din $24=2^3\cdot 3$ și $36=2^2\cdot 3^2$ iese $(24;36)=2^2\cdot 3=12$, iar $[24;36]=2^3\cdot 3^2=72$; verificare: $12\cdot 72=24\cdot 36=864$.

2. Fracții și numere raționale

Ce s-a dat la examen: numere raționale și reale.

• Amplificarea și simplificarea: $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$, cu $k\ne 0$ — aduci fracțiile la același numitor sau la forma ireductibilă.
• Adunarea cu același numitor: $\frac{a}{c}\pm \frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$ — se adună doar numărătorii.
• Adunarea cu numitori diferiți: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ — sau, mai scurt, cu c.m.m.m.c. al numitorilor.
• Înmulțirea fracțiilor: $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$ — simplifici pe diagonală înainte să înmulțești.
• Împărțirea fracțiilor: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$ — înmulțești cu inversa celei de-a doua.
• Puterea unei fracții: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$.
• Introducerea întregilor în fracție: $a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$ — înainte de orice calcul cu un număr mixt.
• Fracție dintr-un număr: $\frac{a}{b}$ din $n$ este $\frac{a\cdot n}{b}$ — la probleme cu „două treimi din elevi”.
• Zecimală finită → fracție: $0,ab=\frac{\overline{ab}}{100}$.
• Zecimală periodică simplă → fracție: $0,(ab)=\frac{\overline{ab}}{99}$ — câte cifre în perioadă, atâția de $9$ la numitor.
• Zecimală periodică mixtă → fracție: $0,a(b)=\frac{\overline{ab}-a}{90}$ — un $9$ pentru fiecare cifră din perioadă, un $0$ pentru fiecare cifră dinaintea ei.
• Modulul: $|a|=a$ pentru $a\ge 0$ și $|a|=-a$ pentru $a<0$ — la distanța pe axă și la expresii de forma $|\sqrt{2}-2|$.
• Regula semnelor: două semne egale dau plus, două semne diferite dau minus, la înmulțire și la împărțire.
• Scăderea ca adunare cu opusul: $a-b=a+(-b)$ — când scazi un număr negativ.
• Compararea numerelor negative: dintre două numere negative e mai mare cel cu modulul mai mic.
• Puterea unui număr negativ: $(-a{)}^{2k}=a^{2k}$ și $(-a{)}^{2k+1}=-a^{2k+1}$ — exponentul par „mănâncă” minusul, cel impar îl păstrează.

Cerință tipică: „Scrieți numărul $0,(36)$ ca fracție ireductibilă.” Perioada are două cifre, deci $0,(36)=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$, după simplificarea cu $9$.

3. Puteri

Ce s-a dat la examen: numere raționale și reale · ordinea operațiilor.

• Definiția puterii: $a^n$ este produsul a $n$ factori egali cu $a$.
• Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.
• Împărțirea puterilor cu aceeași bază: $a^m:a^n=a^{m-n}$, cu $a\ne 0$.
• Puterea unei puteri: $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$ — la aducerea la aceeași bază, ca $4^5=2^{10}$.
• Puterea unui produs: $(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$ — la aducerea la același exponent.
• Exponentul 0: $a^0=1$, pentru $a\ne 0$.
• Exponentul negativ: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, pentru $a\ne 0$.
• Compararea puterilor cu aceeași bază: pentru $a>1$, $a^m>a^n$ exact când $m>n$ — compari după ce aduci la aceeași bază sau la același exponent.
• Ultima cifră a puterilor: ultima cifră a lui $a^n$ se repetă în grupuri de $1$, $2$ sau $4$ — afli ultima cifră a unui număr uriaș fără să-l calculezi.
• Scrierea în baza 10: $\overline{abc}=a\cdot 10^2+b\cdot 10+c$ — la probleme cu cifre necunoscute.

Cerință tipică: „Ultima cifră a numărului $7^{2027}$ este …”. Ultimele cifre ale puterilor lui $7$ se repetă în grupuri de patru: $7,9,3,1$. Cum $2027=4\cdot 506+3$, ultima cifră este a treia din grup, adică $3$.

4. Radicali

Ce s-a dat la examen: radicali.

• Definiția rădăcinii pătrate: $\sqrt{a}=b$ exact când $b\ge 0$ și $b^2=a$.
• Rădăcina pătratului unui număr: $\sqrt{a^2}=|a|$ — de aici $\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{3}-1$, nu $1-\sqrt{3}$.
• Radicalul unui produs: $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$, pentru $a,b\ge 0$.
• Radicalul unui cât: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, pentru $a\ge 0$, $b>0$.
• Scoaterea factorilor de sub radical: $\sqrt{a^2\cdot b}=a\sqrt{b}$, pentru $a,b\ge 0$ — ca $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$, înainte să aduni radicali.
• Introducerea factorilor sub radical: $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}$, pentru $a,b\ge 0$ — când compari numere ca $3\sqrt{2}$ și $2\sqrt{5}$.
• Raționalizarea numitorului: $\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$, pentru $a>0$ — rezultatul final nu se lasă cu radical la numitor.
• Media geometrică: $m_g=\sqrt{a\cdot b}$, pentru $a,b\ge 0$ — media geometrică a numerelor $2$ și $8$ este $\sqrt{16}=4$.

Cerință tipică: „Calculați $\sqrt{48}-\sqrt{27}$.” Scoți factorii: $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ și $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$, deci rezultatul este $\sqrt{3}$.

5. Rapoarte, proporții și procente

Ce s-a dat la examen: rapoarte și proporții · procente.

• Raportul a două numere: $\frac{a}{b}$, cu $b\ne 0$ — mărimile se aduc la aceeași unitate de măsură înainte.
• Proprietatea fundamentală a proporției: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ exact când $a\cdot d=b\cdot c$ — produsul mezilor egal cu produsul extremilor.
• Aflarea termenului necunoscut: din $\frac{x}{b}=\frac{c}{d}$ rezultă $x=\frac{b\cdot c}{d}$.
• Mărimi direct proporționale: $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=k$ — „cu cât mai mult, cu atât mai mult”: cantitate și preț.
• Mărimi invers proporționale: $a_1\cdot b_1=a_2\cdot b_2=k$ — „mai mulți muncitori, mai puține zile”.
• Procentul dintr-un număr: $p\%$ din $n$ este $\frac{p}{100}\cdot n$ — la reduceri, scumpiri și TVA.
• Procentele prietenoase: $50\%$ din $n$ este $\frac{n}{2}$, $25\%$ este $\frac{n}{4}$, $75\%$ este $\frac{3n}{4}$ — calcul din cap la grilă.
• Aflarea procentului: $p\%=\frac{\text{partea}}{\text{ıˆntregul}}\cdot 100\%$ — „ce procent reprezintă…”.
• Aflarea întregului: $n=\frac{\text{partea}\cdot 100}{p}$ — când știi cât reprezintă $p\%$ și cauți totalul.
• Scara unei hărți: scara $=\frac{\text{distanța pe harta˘}}{\text{distanța reala˘}}$, cu ambele distanțe în aceeași unitate.

Cerință tipică: „Un produs costă 240 de lei. După o ieftinire cu 15%, prețul lui devine …”. Reducerea este $\frac{15}{100}\cdot 240=36$ de lei, deci noul preț este $204$ lei.

6. Calcul algebric și formule de calcul prescurtat

Ce s-a dat la examen: formule de calcul prescurtat · calcul algebric · fracții algebrice.

• Pătratul sumei: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.
• Pătratul diferenței: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ — termenul din mijloc nu lipsește niciodată.
• Produsul sumei cu diferența: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ — și la calcul numeric: $52\cdot 48=50^2-2^2$.
• Descompunere: factorul comun: $ab+ac=a(b+c)$ — primul lucru pe care îl încerci la orice descompunere.
• Descompunere: diferența de pătrate: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ — rezolvă și ecuații ca $x^2-9=0$.
• Descompunere: restrângerea pătratului: $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2$ — la simplificarea fracțiilor algebrice.
• Descompunere: suma și produsul: $x^2+Sx+P=(x+m)(x+n)$, cu $m+n=S$ și $m\cdot n=P$ — descompui un trinom ca $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$.

Cerință tipică: „Arătați că $(x+3{)}^2-(x-3{)}^2=12x$, pentru orice număr real $x$.” Dezvolți: $(x^2+6x+9)-(x^2-6x+9)=12x$.

7. Ecuații și sisteme

Ce s-a dat la examen: ecuații de gradul întâi · probleme cu text.

• Ecuația de gradul I: $ax+b=0$, cu $a\ne 0$, are soluția $x=-\frac{b}{a}$.
• Transformări echivalente: aduni sau scazi același număr în ambii membri, înmulțești sau împarți ambii membri cu același număr nenul.
• Ecuația $x^2=a$: pentru $a>0$, soluțiile sunt $x=\pm \sqrt{a}$ — nu uita soluția negativă.
• Sistemul, prin metoda substituției: scoți o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă.
• Sistemul, prin metoda reducerii: aduni sau scazi ecuațiile, după ce le-ai înmulțit convenabil, ca să dispară o necunoscută.

Cerință tipică: „Rezolvați sistemul $x+y=10$, $x-y=2$.” Adunând ecuațiile, $2x=12$, deci $x=6$ și $y=4$.

8. Funcția liniară și reperul cartezian

Ce s-a dat la examen: funcția liniară.

• Valoarea funcției într-un punct: pentru $f(x)=ax+b$, $f(x_0)=a\cdot x_0+b$.
• Graficul funcției liniare: este o dreaptă, deci se desenează din două puncte.
• Intersecția cu axa Oy: punctul $(0,b)$.
• Intersecția cu axa Ox: punctul $\left(-\frac{b}{a},0\right)$, cu $a\ne 0$ — rezolvi $f(x)=0$.
• Apartenența unui punct la grafic: $A(x_A,y_A)$ este pe grafic exact când $f(x_A)=y_A$ — la „determinați $a$ știind că punctul… aparține graficului”.
• Distanța dintre două puncte: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$ — teorema lui Pitagora scrisă în coordonate.
• Mijlocul unui segment: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

Cerință tipică: „Graficul funcției $f(x)=2x-4$ intersectează axele în punctele $A$ și $B$. Calculați lungimea segmentului $AB$.” Cu axa Ox: $A(2,0)$; cu axa Oy: $B(0,-4)$; $AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

9. Medii, statistică și probabilități

Ce s-a dat la examen: statistică și organizarea datelor · probabilități.

• Media aritmetică: $m_a=\frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}$.
• Media aritmetică ponderată: $m_p=\frac{a_1{p}_1+a_2{p}_2+\dots +a_n{p}_n}{p_1+p_2+\dots +p_n}$ — când valorile se repetă de un număr diferit de ori, ca într-un tabel de frecvențe.
• Mediana: valoarea din mijloc a datelor ordonate, sau media celor două din mijloc când numărul lor e par.
• Amplitudinea: cea mai mare valoare minus cea mai mică.
• Frecvența procentuală: numărul de apariții împărțit la total, înmulțit cu $100\%$.
• Unghiul din diagrama circulară: $u=\frac{\text{partea}}{\text{total}}\cdot 360^{\circ }$.
• Probabilitatea unui eveniment: $P=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$ — rezultatul e întotdeauna între $0$ și $1$.

Cerință tipică: „Se alege la întâmplare un număr din mulțimea $\{1,2,\dots ,20\}$. Probabilitatea ca numărul ales să fie multiplu de 3 este …”. Multiplii de $3$ sunt $3,6,9,12,15,18$, adică $6$ cazuri favorabile din $20$: $P=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.

10. Unghiuri și drepte paralele

Ce s-a dat la examen: segmente și unghiuri · drepte paralele și secantă.

• Unghiuri complementare: $\alpha +\beta =90^{\circ }$.
• Unghiuri suplementare: $\alpha +\beta =180^{\circ }$ — așa sunt două unghiuri adiacente ale căror laturi necomune sunt semidrepte opuse.
• Unghiuri opuse la vârf: sunt congruente.
• Unghiuri în jurul unui punct: suma lor este $360^{\circ }$.
• Unghiuri alterne interne: la două paralele tăiate de o secantă sunt congruente.
• Unghiuri interne de aceeași parte a secantei: la două paralele sunt suplementare.
• Bisectoarea: împarte unghiul în două unghiuri congruente, fiecare jumătate din el.
• Transformarea grade – minute: $1^{\circ }=60^{\prime }$ și $1^{\prime }=60^{\prime \prime }$.

Cerință tipică: „Măsura complementului unui unghi de $35^{\circ }$ este …”. $90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$; suplementul aceluiași unghi ar fi $145^{\circ }$.

11. Triunghiul: unghiuri, arii, linii importante, congruență și asemănare

Ce s-a dat la examen: triunghiul.

• Suma unghiurilor triunghiului: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }$.
• Unghiul exterior: este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente cu el.
• Inegalitatea triunghiului: $|b-c|<a<b+c$ — verifici dacă trei lungimi pot forma un triunghi.
• Perimetrul triunghiului: $P=a+b+c$.
• Aria triunghiului: $A=\frac{b\cdot h}{2}$ — baza și înălțimea corespunzătoare ei.
• Aria triunghiului dreptunghic: $A=\frac{c_1\cdot c_2}{2}$ — o catetă e înălțimea pe cealaltă.
• Înălțimea triunghiului echilateral: $h=\frac{l\sqrt{3}}{2}$.
• Aria triunghiului echilateral: $A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$.
• Linia mijlocie în triunghi: este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.
• Centrul de greutate: împarte fiecare mediană în două bucăți: cea dinspre vârf are $\frac{2}{3}$ din mediană, cea dinspre mijlocul laturii $\frac{1}{3}$.
• Mediana în triunghiul dreptunghic: mediana dusă din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză.
• Teorema unghiului de 30°: cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză.
• Criteriile de congruență: LUL, ULU, LLL — la demonstrațiile de la Subiectul al III-lea.
• Teorema lui Thales: o paralelă la o latură taie pe celelalte două segmente proporționale.
• Reciproca teoremei lui Thales: din segmente proporționale rezultă paralelismul.
• Teorema fundamentală a asemănării: o paralelă la o latură formează un triunghi asemenea cu cel inițial.
• Raportul de asemănare: laturile omoloage sunt proporționale, cu același raport $k$.
• Raportul perimetrelor și al ariilor: perimetrele sunt în raportul $k$, ariile în raportul $k^2$.

Cerință tipică: „Un triunghi echilateral are latura de 6 cm. Aria lui este …”. $A=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$ cm², iar înălțimea este $h=3\sqrt{3}$ cm.

12. Triunghiul dreptunghic: teorema lui Pitagora și trigonometrie

Ce s-a dat la examen: teorema lui Pitagora · trigonometrie în triunghiul dreptunghic.

• Teorema lui Pitagora: $a^2=b^2+c^2$, unde $a$ este ipotenuza.
• Reciproca teoremei lui Pitagora: dacă $a^2=b^2+c^2$, triunghiul este dreptunghic — ca la laturile $5$, $12$, $13$.
• Teorema înălțimii: $h^2=m\cdot n$, unde $m$ și $n$ sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
• Înălțimea din catete și ipotenuză: $h=\frac{c_1\cdot c_2}{a}$ — iese din două scrieri ale ariei.
• Teorema catetei: $c^2=a\cdot m$, unde $m$ este proiecția catetei pe ipotenuză.
• Sinusul: cateta opusă supra ipotenuză.
• Cosinusul: cateta alăturată supra ipotenuză.
• Tangenta și cotangenta: $\text{tg}\alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}$, iar $\text{ctg}\alpha =\frac{1}{\text{tg}\alpha }$.
• Valorile pentru 30°, 45°, 60°: $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar cosinusurile sunt în ordine inversă.
• Identitatea fundamentală: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ — afli cosinusul când știi sinusul.

Cerință tipică: „Triunghiul $ABC$ are $m(\angle A)=90^{\circ }$, $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Lungimea înălțimii din $A$ este …”. Ipotenuza: $BC=\sqrt{36+64}=10$ cm; înălțimea: $\frac{6\cdot 8}{10}=4,8$ cm.

13. Patrulatere

Ce s-a dat la examen: paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat · trapezul.

• Suma unghiurilor unui patrulater: $360^{\circ }$, la orice patrulater convex.
• Perimetrul dreptunghiului: $P=2(L+l)$.
• Aria dreptunghiului: $A=L\cdot l$.
• Diagonala dreptunghiului: $d=\sqrt{L^2+l^2}$.
• Perimetrul pătratului: $P=4l$.
• Aria pătratului: $A=l^2$.
• Diagonala pătratului: $d=l\sqrt{2}$.
• Aria paralelogramului: $A=b\cdot h$.
• Perimetrul și aria rombului: $P=4l$ și $A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=l\cdot h$.
• Aria trapezului: $A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$.
• Linia mijlocie a trapezului: $l_m=\frac{B+b}{2}$.
• Trapezul isoscel: unghiurile de la aceeași bază sunt congruente, iar diagonalele sunt congruente.

Cerință tipică: „Un trapez are bazele de 10 cm și 6 cm și înălțimea de 4 cm. Aria lui este …”. $A=\frac{(10+6)\cdot 4}{2}=32$ cm², iar linia mijlocie are $8$ cm.

14. Cercul și poligoanele regulate

Ce s-a dat la examen: cercul.

• Lungimea cercului: $L=2\pi r=\pi d$.
• Aria discului: $A=\pi r^2$.
• Lungimea arcului de cerc: $l=\frac{\pi rn}{180}$, pentru un arc de $n^{\circ }$.
• Aria sectorului de cerc: $A=\frac{\pi r^{2}n}{360}$, pentru un sector de $n^{\circ }$.
• Unghiul la centru: are aceeași măsură cu arcul cuprins între laturile lui.
• Unghiul înscris în cerc: are jumătate din măsura arcului cuprins.
• Unghiul înscris în semicerc: este drept — un triunghi cu o latură diametru e dreptunghic.
• Coarde și arce: coardele congruente subîntind arce congruente, și invers.
• Diametrul perpendicular pe o coardă: o împarte în două segmente congruente.
• Tangenta la cerc: este perpendiculară pe rază în punctul de tangență.
• Triunghiul echilateral înscris: $l_3=r\sqrt{3}$, apotema $a_3=\frac{r}{2}$.
• Pătratul înscris: $l_4=r\sqrt{2}$, apotema $a_4=\frac{r\sqrt{2}}{2}$.
• Hexagonul regulat înscris: $l_6=r$, apotema $a_6=\frac{r\sqrt{3}}{2}$.
• Unghiul interior al poligonului regulat: $u=\frac{(n-2)\cdot 180^{\circ }}{n}$.

Cerință tipică: „Un cerc are raza de 5 cm. Lungimea unui arc de $72^{\circ }$ al lui este …”. $l=\frac{\pi \cdot 5\cdot 72}{180}=2\pi$ cm; lungimea întregului cerc este $10\pi$ cm, iar aria discului $25\pi$ cm².

15. Corpuri geometrice: arii și volume

Ce s-a dat la examen: prisma, cubul, paralelipipedul · piramida și tetraedrul · corpuri rotunde · perpendicularitate și distanțe în spațiu.

• Cubul: aria și volumul: $A_t=6l^2$ și $V=l^3$.
• Cubul: diagonala: $d=l\sqrt{3}$.
• Paralelipipedul dreptunghic: aria și volumul: $A_t=2(ab+bc+ca)$ și $V=a\cdot b\cdot c$.
• Paralelipipedul dreptunghic: diagonala: $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
• Prisma dreaptă: $A_l=P_b\cdot h$, $A_t=A_l+2A_b$, $V=A_b\cdot h$.
• Piramida regulată: $A_l=\frac{P_b\cdot a_p}{2}$, $A_t=A_l+A_b$, $V=\frac{A_b\cdot h}{3}$ — $a_p$ este apotema piramidei.
• Trunchiul de piramidă: $V=\frac{h}{3}\left(A_B+A_b+\sqrt{A_B\cdot A_b}\right)$.
• Cilindrul circular drept: $A_l=2\pi rG$, $A_t=2\pi r(G+r)$, $V=\pi r^{2}h$.
• Conul circular drept: $A_l=\pi rG$, $A_t=\pi r(G+r)$, $V=\frac{\pi r^{2}h}{3}$, cu $G^2=r^2+h^2$.
• Trunchiul de con: $A_l=\pi G(R+r)$ și $V=\frac{\pi h}{3}\left(R^2+r^2+Rr\right)$.
• Sfera: $A=4\pi R^2$ și $V=\frac{4\pi R^3}{3}$.

Distanța de la un punct la un plan și unghiul dintre o dreaptă și un plan, cerute des la Subiectul al III-lea, nu au o formulă proprie. Distanța este lungimea perpendicularei din punct pe plan, iar unghiul dintre dreaptă și plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan; le calculezi apoi cu relațiile metrice de la tema 12, de multe ori după ce ai construit o perpendiculară cu teorema celor trei perpendiculare. Pașii sunt în lecțiile despre distanța de la un punct la un plan și despre unghiul dintre o dreaptă și un plan.

Cerință tipică: „Un con circular drept are raza bazei de 3 cm și înălțimea de 4 cm. Volumul lui este …”. $V=\frac{\pi \cdot 3^2\cdot 4}{3}=12\pi$ cm³; generatoarea are $5$ cm, deci aria laterală este $15\pi$ cm².

16. Unități de măsură și mișcare

Ce s-a dat la examen: probleme cu text.

• Unități de lungime: $1\text{km}=1000\text{m}$ și $1\text{m}=100\text{cm}$ — fiecare treaptă înseamnă de $10$ ori.
• Unități de arie: $1{\text{m}}^2=100{\text{dm}}^2=10000{\text{cm}}^2$ — fiecare treaptă înseamnă de $100$ de ori.
• Hectarul și arul: $1\text{ha}=10000{\text{m}}^2$ și $1\text{ar}=100{\text{m}}^2$.
• Unități de volum: $1{\text{m}}^3=1000{\text{dm}}^3$ — fiecare treaptă înseamnă de $1000$ de ori.
• Legătura litru – dm³: $1\text{L}=1{\text{dm}}^3$ — la problemele cu „câți litri de apă încap în vas”.
• Viteza: $v=\frac{d}{t}$, deci $d=v\cdot t$ și $t=\frac{d}{v}$.

Cerință tipică: „Un vas în formă de cub are muchia de 4 dm. Câți litri de apă încap în el?” $V=4^3=64$ dm³, adică $64$ de litri.

Cum folosești lista

1. Citește formula, apoi acoperă-o și scrie-o din memorie. Cele pe care nu le poți scrie corect le notezi.
2. Deschide pagina formulei pentru fiecare notată: legenda îți spune ce înseamnă fiecare literă, iar exemplul rezolvat arată cum se aplică.
3. Treci la cerințele reale: fiecare temă de mai sus are legătura spre cerințele date din ea în subiectele oficiale, cu rezolvare. Variantele întregi sunt în subiectele de Evaluare Națională.
4. Dai o simulare cronometrată, două ore, din testele de antrenament, și vezi pe ce formule ai pierdut puncte.

Întrebări frecvente

Câte formule trebuie să știi pentru Evaluarea Națională la matematică? Pe pagina asta sunt 165, din materia claselor a V-a – a VIII-a. Nu toate cântăresc la fel: din cele 108 cerințe ale sesiunilor principale din iunie 2021–2026, cele mai multe au venit din numere reale și radicali (19), patrulatere (13), corpuri geometrice (12), segmente și unghiuri (11) și triunghi cu relațiile metrice (10), după numărătoarea de pe pagina ce intră la Evaluarea Națională.

Intră formula cu Δ (discriminantul) la Evaluarea Națională? Nu. Formula x₁,₂ = (−b ± √Δ)/(2a), cu Δ = b² − 4ac, se învață în clasa a IX-a. La clasa a VIII-a, ecuațiile de forma ax² + bx + c = 0 se rezolvă prin descompunere în factori, de exemplu x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, de unde x = 2 sau x = 3.

Ce formule de arii și volume intră la Evaluarea Națională? Ariile triunghiului, ale triunghiului echilateral, ale paralelogramului, dreptunghiului, pătratului, rombului și trapezului, aria discului și a sectorului de cerc, apoi ariile și volumele cubului, paralelipipedului, prismei, piramidei, trunchiului de piramidă, cilindrului, conului, trunchiului de con și sferei. Toate sunt la temele 11–15 de mai sus.

Trebuie știute valorile pentru sinus și cosinus la Evaluarea Națională? Da, pentru unghiurile de 30°, 45° și 60°: sin 30° = cos 60° = 1/2, sin 45° = cos 45° = √2/2, sin 60° = cos 30° = √3/2. Trigonometria în triunghiul dreptunghic se face în clasa a VII-a și intră în materia de examen.

Intră probabilitățile la Evaluarea Națională? Probabilitatea unui eveniment, P = cazuri favorabile / cazuri posibile, e în programa de gimnaziu, la clasa a VI-a, deci poate fi cerută. În cele șapte variante oficiale din sesiunile din iunie 2021–2026 n-a primit nicio cerință, după numărătoarea de pe pagina ce intră la Evaluarea Națională.

Cu ce formule se calculează distanța dintre două puncte la clasa a VIII-a? Pentru A(x₁, y₁) și B(x₂, y₂), AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), adică teorema lui Pitagora aplicată în reperul cartezian. De exemplu, pentru A(1, 2) și B(4, 6): AB = √(9 + 16) = 5.

Unde găsesc exerciții cu fiecare formulă? Numele fiecărei formule duce la pagina ei, cu un exemplu rezolvat. Pentru cerințele date la examen, folosește legăturile de la începutul fiecărei teme: acolo sunt cerințele din subiectele oficiale, cu rezolvare.