Formule pentru Bacalaureat M2 (științe ale naturii), pe teme

Aici sunt cele 182 de formule cerute la Bacalaureatul la matematică M2, proba specializării științe ale naturii, grupate pe 23 de teme, de la numerele reale din clasa a IX-a până la aplicațiile integralei din clasa a XII-a. Fiecare formulă are o propoziție despre momentul în care o folosești, iar numele ei te duce la pagina formulei, cu legenda și un exemplu rezolvat. La fiecare temă ai unde s-o exersezi pe traseul M2 — un test cu barem sau, la logaritmi, lecțiile cu exerciții — și o cerință de tipul celor de la examen, rezolvată pe scurt.

După ce programă e făcută lista. La Bacalaureatul din 2027, subiectele M2 se dau după programa de examen M_șt-nat — anexa nr. 2 la OMEN nr. 4.430/2014, aceeași din 2015 încoace. Programa școlară nouă de științe ale naturii (anexa nr. 28 la OMEC nr. 6.930/2025) se aplică de la clasa a IX-a din 2026–2027, iar programa de examen făcută după ea (OMEC nr. 5.077/2026) se aplică din sesiunea 2030, la proba nouă MAT_P2; pentru 2028 și 2029 nu s-a anunțat altă programă. De aceea pe pagina asta nu sunt formulele de geometrie analitică în spațiu și ecuațiile diferențiale, care apar doar în programa nouă, dar sunt vectorii, grupurile, inelele și fracțiile simple, pe care programa de examen actuală le cuprinde. Pe scurt despre proba din 2030: ce se schimbă din 2030.

Față de M1, programa M2 are capitole mai scurte la clasele a XI-a și a XII-a: determinanți de ordin cel mult 3, sisteme cu cel mult 3 necunoscute, fără rangul unei matrice, fără limite de șiruri și fără teoremele lui Rolle și Lagrange. Formulele de mate-info sunt pe pagina formule pentru Bacalaureat M1. Câteva formule de aici au pagina pe traseul comun cu mate-info; sunt aceleași pentru ambele profiluri. Comparația celor două liste, temă cu temă, e pe pagina formule bac matematică, pe profiluri.

Actualizat: 7 octombrie 2026.

Subiectele oficiale M2 din 2010–2026, cu barem și rezolvare, sunt în arhiva de subiecte Bac M2, iar formulele fiecărei clase de pe traseul M2 sunt pe paginile clasa a IX-a, clasa a X-a, clasa a XI-a și clasa a XII-a.

1. Numere reale, modul și radicali

Exersezi pe: test de numere reale și partea întreagă (M2).

Proprietățile modulului: modulul unui produs e produsul modulelor, dar la sumă ai doar $∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ .
Partea întreagă și partea fracționară: $[x]$ e întregul $k$ cu $k \leq x < k + 1$ , iar ${x} = x - [x]$ stă mereu în $[0, 1)$ .
Raționalizarea cu expresia conjugată: înmulțești sus și jos cu conjugata, ca $\frac{1}{a - b}$ să devină $\frac{a + b}{a ^{2} - b}$ .
Puterea cu exponent rațional: $a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ , pentru $a > 0$ — radicalii scriși ca puteri se înmulțesc și se împart după regulile puterilor.

Cerință tipică: „Arătați că $∣1 - 2 ∣ + ∣ 2 - 2∣ = 1$ .” Cum $2 \approx 1, 41$ , primul modul este $2 - 1$ , al doilea $2 - 2$ , iar suma lor este $1$ .

2. Progresii și șiruri

Exersezi pe: test de progresii aritmetice și geometrice (M2).

Termenul general al progresiei aritmetice: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ — afli orice termen din primul termen și rație.
Suma primilor n termeni, progresia aritmetică: $S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}$ .
Condiția de progresie aritmetică: termenul din mijloc e media aritmetică a vecinilor, $2 b = a + c$ — cu ea afli necunoscuta din trei numere „în progresie aritmetică”.
Termenul general al progresiei geometrice: $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ .
Suma primilor n termeni, progresia geometrică: $S_{n} = b_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ , pentru $q \neq = 1$ , iar pentru $q = 1$ , $S_{n} = n b_{1}$ .
Condiția de progresie geometrică: pătratul termenului din mijloc este produsul vecinilor, $b^{2} = a c$ .
Monotonia unui șir: studiezi semnul lui $a_{n + 1} - a_{n}$ ; la termeni pozitivi poți compara și raportul $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ cu $1$ .

Cerință tipică: „Progresia geometrică $(b_{n})$ are $b_{2} = 6$ și $b_{3} = 18$ . Calculați suma primilor patru termeni.” Rația este $q = 3$ , deci $b_{1} = 2$ și $S_{4} = 2 \cdot \frac{3 ^{4} - 1}{3 - 1} = 80$ .

3. Funcția de gradul I și funcția de gradul al II-lea

Exersezi pe: test supliment: gradul I și II, mulțimi și șiruri (M2).

Semnul funcției de gradul I: la stânga rădăcinii $- \frac{b}{a}$ funcția are semnul opus lui $a$ , la dreapta semnul lui $a$ — la inecuații și sisteme de inecuații de gradul I.
Numărul de soluții ale unui sistem de gradul I: cu $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0$ soluția e unică; când expresia se anulează, dreptele sunt paralele sau confundate.
Ecuația de gradul al II-lea: rădăcinile $x_{1, 2} = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ , cu $Δ = b^{2} - 4 a c \geq 0$ .
Forma canonică: $f (x) = a (x - x_{V})^{2} + y_{V}$ .
Vârful parabolei și axa de simetrie: vârful are abscisa $- \frac{b}{2 a}$ și ordonata $- \frac{Δ}{4 a}$ .
Descompunerea trinomului: $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ , când $Δ \geq 0$ .
Relațiile lui Viète: suma rădăcinilor $- \frac{b}{a}$ , produsul $\frac{c}{a}$ — rezolvi și sisteme de forma $x + y = s$ , $x y = p$ .
Semnul funcției de gradul al doilea: între rădăcini semnul e contrar lui $a$ , în afara lor e semnul lui $a$ .
Valoarea extremă și mulțimea valorilor: valoarea din vârf, $y_{V}$ , e minimul pentru $a > 0$ și maximul pentru $a < 0$ .
Poziția dreptei față de parabolă: rezolvi sistemul dintre $y = m x + n$ și $y = a x^{2} + b x + c$ ; dreapta e tangentă exact când ecuația obținută are discriminantul $0$ .

Cerință tipică: „Determinați numărul real $m$ pentru care ecuația $x^{2} - 6 x + m = 0$ are două soluții reale egale.” Condiția este $Δ = 36 - 4 m = 0$ , deci $m = 9$ , iar soluția dublă este $x = 3$ .

4. Vectori în plan

Exersezi pe: test supliment: vectori și calcul vectorial (M2).

Descompunerea după doi vectori necoliniari: orice vector se scrie, într-un singur fel, $α u + β v$ .
Punctul care împarte un segment într-un raport dat: pentru $A M : M B = m : n$ , vectorul de poziție este $\frac{n r _{A} + m r _{B}}{m + n}$ .
Centrul de greutate al triunghiului: $r_{G} = \frac{r _{A} + r _{B} + r _{C}}{3}$ ; în coordonate, media coordonatelor vârfurilor.
Produsul scalar: $u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ$ ; doi vectori sunt perpendiculari exact când produsul lor scalar e $0$ .
Coordonatele unui vector: $A B$ are coordonatele „vârf minus origine”, iar lungimea lui e $x^{2} + y^{2}$ .
Teorema lui Menelaus: o dreaptă care taie laturile (sau prelungirile lor) dă un produs de trei rapoarte egal cu $1$ .
Teorema lui Ceva: același produs de rapoarte, egal cu $1$ , pentru trei drepte concurente duse din vârfuri.

Cerință tipică: „În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 2)$ , $B (3, 4)$ și $C (5, 0)$ . Determinați coordonatele centrului de greutate al triunghiului $A B C$ .” $G (\frac{1 + 3 + 5}{3}, \frac{2 + 4 + 0}{3}) = G (3, 2)$ .

5. Trigonometrie

Exersezi pe: test supliment: produsul scalar și formule trigonometrice (M2).

Formula fundamentală: $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ — din sinus afli cosinusul, cu semnul dat de cadran.
Tangenta și cotangenta: $tg x = \frac{sin x}{cos x}$ și $ctg x = \frac{cos x}{sin x}$ , acolo unde numitorul nu e $0$ .
Valorile de bază în radiani: tabelul pentru $0$ , $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{4}$ , $\frac{π}{3}$ și $\frac{π}{2}$ .
Reducerea la primul cadran pentru π − x și π + x: de exemplu, $cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
Reducerea la primul cadran pentru 2π − x și π/2 − x: unghiurile complementare își schimbă sinusul cu cosinusul.
Sinusul sumei și al diferenței: $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ , iar pentru diferență semnul din mijloc devine minus.
Cosinusul sumei și al diferenței: $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ — semnul se schimbă față de cel din paranteză.
Unghiul dublu: $sin 2 x = 2 sin x cos x$ și $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ .
Transformarea sumei în produs: $sin a + sin b$ , $sin a - sin b$ , $cos a + cos b$ și $cos a - cos b$ scrise ca produse, cu semisuma și semidiferența unghiurilor.
Ecuațiile trigonometrice elementare: $sin x = a$ , $cos x = a$ și $tg x = a$ , cu mulțimile lor de soluții.

Cerință tipică: „Știind că $sin x = \frac{3}{5}$ , calculați $cos 2 x$ .” $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}$ .

6. Aplicații ale trigonometriei în triunghi

Exersezi pe: test de trigonometrie și aplicații în geometrie (M2).

Teorema cosinusului: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ ; scrisă invers, $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ îți spune dacă unghiul e ascuțit sau obtuz.
Teorema sinusurilor: raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este $2 R$ .
Aria cu sinusul: jumătate din produsul a două laturi, înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
Formula lui Heron: aria din cele trei laturi, cu semiperimetrul $p$ .
Razele cercurilor înscris și circumscris: $r = \frac{S}{p}$ și $R = \frac{ab c}{4 S}$ — întâi afli aria.
Lungimea medianei: $4 m_{a}^{2} = 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}$ .
Teorema bisectoarei: piciorul bisectoarei împarte latura opusă în raportul laturilor alăturate.

Cerință tipică: „Calculați aria triunghiului cu laturile de 5, 5 și 6.” Semiperimetrul este $p = 8$ , deci $S = 8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ ; raza cercului circumscris este $R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12} = \frac{25}{8}$ .

7. Exponențiale și logaritmi

Exersezi pe: ecuații exponențiale (M2) · ecuații logaritmice (M2).

Funcția exponențială: $a^{x} > 0$ pentru orice $x$ ; monotonia depinde de baza $a$ , față de $1$ .
Definiția logaritmului: $lo g_{a} b$ este exponentul la care ridici $a$ ca să obții $b$ , cu $b > 0$ , $a > 0$ , $a \neq = 1$ .
Egalitățile de bază: $lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ și $a^{l o g_{a} b} = b$ .
Funcția logaritmică: e definită doar pentru argumente strict pozitive — de aici condițiile de existență.
Logaritmul natural și cel zecimal: $ln$ are baza $e$ , $l g$ are baza $10$ .
Proprietățile logaritmilor: logaritmul unui produs e suma logaritmilor, al unui cât e diferența, al unei puteri e exponentul înmulțit cu logaritmul.
Schimbarea bazei: $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ .

Cerință tipică: „Arătați că $lo g_{3} 18 - lo g_{3} 2 = 2$ .” $lo g_{3} 18 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} \frac{18}{2} = lo g_{3} 9 = 2$ .

8. Numere complexe

Exersezi pe: test de numere complexe, forma algebrică (M2).

Forma algebrică: $z = a + bi$ , cu partea reală $a$ și partea imaginară $b$ .
Adunarea și înmulțirea: se lucrează ca la expresii algebrice, cu $i^{2} = - 1$ .
Puterile lui i: se repetă din patru în patru: $i, - 1, - i, 1$ .
Conjugatul: $\overline{a + bi} = a - bi$ , iar produsul $z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2}$ e un număr real.
Modulul: $∣ a + bi ∣ = a^{2} + b^{2}$ .
Împărțirea: amplifici cu conjugatul numitorului, ca numitorul să devină real.

Programa de examen cere și rezolvarea în $C$ a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali: pentru $Δ < 0$ , rădăcinile sunt complex conjugate, $x_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ — de exemplu, $z^{2} - 4 z + 5 = 0$ are rădăcinile $2 \pm i$ .

Cerință tipică: „Scrieți sub formă algebrică numărul $z = \frac{3 + 4 i}{1 - 2 i}$ .” Amplifici cu $1 + 2 i$ : $z = \frac{( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i )}{5} = \frac{- 5 + 10 i}{5} = - 1 + 2 i$ .

9. Metode de numărare și binomul lui Newton

Exersezi pe: test de permutări, aranjamente, combinări (M2) · test cu binomul lui Newton (M2).

Regula produsului și a sumei: etapele succesive se înmulțesc, cazurile care se exclud se adună.
Factorialul: $n! = n \cdot (n - 1)!$ , cu $0! = 1$ .
Permutările: $n!$ moduri de a așeza $n$ obiecte în ordine.
Aranjamentele: $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ — contează și cine e ales, și ordinea.
Combinările: $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ — contează doar cine e ales.
Combinările complementare: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ , de exemplu $C_{10}^{8} = C_{10}^{2} = 45$ .
Binomul lui Newton: dezvoltarea lui $(a + b)^{n}$ are $n + 1$ termeni, cu coeficienții $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$ .
Termenul general: $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ .
Suma coeficienților binomiali: $2^{n}$ , adică numărul submulțimilor unei mulțimi cu $n$ elemente.
Numărul funcțiilor între două mulțimi finite: $n^{m}$ funcții de la o mulțime cu $m$ elemente la una cu $n$ elemente; injective, $A_{n}^{m}$ ; bijective, $n!$ când $m = n$ .

Cerință tipică: „Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4 și 5?” Ordinea contează, deci sunt $A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ de numere.

10. Matematici financiare, statistică și probabilități

Exersezi pe: test supliment: matematici financiare (M2) · test de statistică (M2) · test de probabilități (M2).

TVA: prețul cu taxă este prețul fără taxă înmulțit cu $1 + \frac{c}{100}$ ; taxa conținută în prețul de raft e $\frac{c}{100 + c}$ din el.
Dobânda simplă: $D = S \cdot \frac{p}{100} \cdot t$ , calculată mereu la suma depusă inițial.
Dobânda compusă: $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$ — dobânda fiecărui an se adaugă la sumă.
Amortizarea liniară: $A = \frac{V - R}{n}$ pe an, iar după $k$ ani valoarea rămasă e $V - k A$ .
Pragul de rentabilitate: costurile fixe împărțite la diferența dintre prețul de vânzare și costul variabil al unei bucăți.
Media aritmetică a datelor: suma valorilor împărțită la numărul lor.
Media ponderată: $\frac{a _{1} p _{1} + \dots + a _{n} p _{n}}{p _{1} + \dots + p _{n}}$ — pentru date cu frecvențe.
Dispersia: media pătratelor abaterilor de la medie, sau, mai repede, media pătratelor minus pătratul mediei.
Abaterea standard: $σ = σ^{2}$ , în aceeași unitate de măsură ca datele.
Probabilitatea clasică: numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile, egal probabile.
Evenimentul contrar: $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ .
Probabilitatea reuniunii: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ — intersecția se scade o dată, ca să nu fie numărată de două ori.

Cerință tipică: „O sumă de 2.000 de lei se depune pe 3 ani cu dobândă simplă de 5% pe an. Ce dobândă se obține?” $D = 2000 \cdot \frac{5}{100} \cdot 3 = 300$ de lei.

11. Geometrie analitică în plan

Exersezi pe: test de reper cartezian, distanțe și dreapta (M2).

Distanța dintre două puncte: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .
Mijlocul segmentului: media absciselor și media ordonatelor.
Panta dreptei: diferența ordonatelor supra diferența absciselor.
Panta și unghiul cu axa Ox: $m = tg α$ .
Dreapta prin punct, cu panta dată: $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ .
Dreapta prin două puncte: $\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}$ .
Dreapta prin două puncte, cu determinant: determinantul de ordinul trei cu liniile $(x, y, 1)$ , $(x_{A}, y_{A}, 1)$ , $(x_{B}, y_{B}, 1)$ se egalează cu $0$ .
Ecuația generală a dreptei: $a x + b y + c = 0$ ; pentru $b \neq = 0$ , panta este $- \frac{a}{b}$ .
Puncte coliniare: trei puncte sunt coliniare exact când determinantul format cu coordonatele lor e $0$ .
Intersecția a două drepte: soluția sistemului format din ecuațiile lor.
Simetricul unui punct față de alt punct: punctul față de care faci simetria e mijlocul segmentului.
Drepte paralele și perpendiculare: pante egale pentru paralele, produsul pantelor $- 1$ pentru perpendiculare.
Distanța de la un punct la o dreaptă: $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .
Aria triunghiului cu determinant: jumătate din modulul determinantului coordonatelor vârfurilor.

Cerință tipică: „Calculați distanța de la originea reperului la dreapta $3 x + 4 y - 10 = 0$ .” $d = \frac{∣0 + 0 - 10∣}{9 + 16} = \frac{10}{5} = 2$ .

12. Matrice

Exersezi pe: test de operații cu matrice (M2).

Adunarea și înmulțirea cu un scalar: se fac poziție cu poziție.
Înmulțirea matricelor: elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ e produsul liniei $i$ a primei matrice cu coloana $j$ a celei de-a doua.
Proprietățile înmulțirii: e asociativă și are elementul neutru $I_{n}$ , dar $A B$ și $B A$ pot fi diferite.
Transpusa: liniile devin coloane.
Puterile unei matrice: $A^{n}$ se calculează pas cu pas, iar forma generală se demonstrează prin inducție.
Relația Hamilton-Cayley: pentru $A$ de ordinul al doilea, $A^{2} = tr (A) A - (det A) I_{2}$ .

Cerință tipică: „Pentru $A = (1324)$ , arătați că $A^{2} = 5 A + 2 I_{2}$ .” Urma este $5$ , iar determinantul $- 2$ , deci Hamilton-Cayley dă $A^{2} = 5 A + 2 I_{2}$ ; direct: $A^{2} = (7151022)$ .

13. Determinanți și matrice inversabile

Exersezi pe: test de determinanți (M2) · test de matrice inversabile și aplicații geometrice (M2).

Determinantul de ordinul al doilea: produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare.
Regula lui Sarrus: determinantul de ordinul al treilea — cel mai mare ordin cerut la M2.
Dezvoltarea după o linie sau o coloană: fiecare element înmulțit cu complementul lui algebric $(- 1)^{i + j} Δ_{ij}$ .
Proprietățile determinanților (1–4): determinantul transpusei e același; un factor comun al unei linii iese în față.
Proprietățile determinanților (5–8): schimbarea a două linii schimbă semnul; liniile proporționale dau $0$ .
Determinantul matricei înmulțite cu un număr: pentru ordinul $n$ , factorul iese la puterea $n$ .
Determinantul unui produs: $det (A B) = det A \cdot det B$ .
Inversa cu matricea adjunctă: există doar pentru $det A \neq = 0$ și este $\frac{1}{det A} A^{*}$ .
Inversa unei matrice de ordinul al doilea: schimbi între ele elementele diagonalei principale, schimbi semnul celorlalte două și împarți la determinant.
Ecuații matriceale: $A X = B$ dă $X = A^{- 1} B$ , cu inversa la stânga.

Cerință tipică: „Calculați determinantul matricei $A = 102210031$ .” Cu regula lui Sarrus: $1 + 12 + 0 - 0 - 0 - 0 = 13$ .

14. Sisteme de ecuații liniare

Exersezi pe: test supliment: ecuații matriceale și sisteme liniare (M2).

Forma matriceală: sistemul se scrie $A X = B$ , cu matricea coeficienților, coloana necunoscutelor și coloana termenilor liberi.
Metoda lui Cramer: pentru $Δ \neq = 0$ , fiecare necunoscută este $\frac{Δ _{x}}{Δ}$ , $\frac{Δ _{y}}{Δ}$ , $\frac{Δ _{z}}{Δ}$ .
Rezolvarea cu inversa: $X = A^{- 1} B$ .

Cerință tipică: „Rezolvați, cu metoda lui Cramer, sistemul $2 x + y = 5$ , $x - y = 1$ .” $Δ = - 3$ , $Δ_{x} = - 6$ , $Δ_{y} = - 3$ , deci $x = 2$ și $y = 1$ .

15. Limite de funcții, continuitate și asimptote

Exersezi pe: test de limite laterale (M2) · test de limite uzuale și nedeterminări (M2) · test de asimptote și continuitate (M2).

Limitele laterale: limita într-un punct există când limita la stânga și cea la dreapta sunt egale.
Operațiile cu limite: limita trece prin sumă, produs și cât, în afara cazurilor exceptate.
Limitele funcțiilor uzuale: la capetele domeniului pentru putere, radical, exponențială și logaritm.
Limita unui raport de polinoame la infinit: compari gradele: grade egale dau raportul coeficienților dominanți, numitorul de grad mai mare dă $0$ .
Cazul $0 \cdot \infty$ , adus la un raport: $f \cdot g = \frac{f}{1/ g}$ — după transformare se aplică regulile lui l'Hospital.
Continuitatea într-un punct: limitele laterale și valoarea funcției trebuie să coincidă — cerința clasică la funcții pe ramuri, cu un parametru.
Proprietatea lui Darboux: o funcție continuă care are semne contrare la capetele unui interval se anulează în interiorul lui.
Semnul unei funcții continue: pe un interval fără zerouri, semnul rămâne același — pe asta se sprijină tabelul de semn.
Asimptota orizontală: dreapta $y = ℓ$ , când limita la infinit e finită.
Asimptota oblică: $y = m x + n$ , cu $m$ limita lui $\frac{f ( x )}{x}$ și $n$ limita lui $f (x) - m x$ .
Asimptota verticală: dreapta $x = a$ , când cel puțin o limită laterală în $a$ este infinită.

Cerință tipică: „Determinați asimptota spre $+ \infty$ la graficul funcției $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} + 3}$ .” Gradele sunt egale, deci limita este $\frac{2}{1} = 2$ , iar asimptota orizontală este $y = 2$ .

16. Derivate

Exersezi pe: test de derivate, tabel și reguli (M2) · test de funcții compuse și tangentă (M2).

Derivata într-un punct: limita raportului $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ când $x \to x_{0}$ .
Tangenta la grafic: $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ — panta tangentei este derivata.
Derivatele puterilor și radicalilor: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ , $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ .
Derivatele exponențialei și logaritmului: $(e^{x})^{'} = e^{x}$ , $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ , $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ .
Regulile de derivare: suma se derivează termen cu termen; la produs $f^{'} g + f g^{'}$ , la cât $\frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ .
Funcțiile compuse: derivata funcției exterioare, înmulțită cu derivata celei interioare — de exemplu $(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .
Derivata a doua: derivezi încă o dată derivata.
Regulile lui l'Hospital: la $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty}{\infty}$ înlocuiești raportul funcțiilor cu raportul derivatelor.

Cerință tipică: „Calculați $f^{'} (1)$ pentru $f (x) = x^{2} ln x$ , $x > 0$ .” $f^{'} (x) = 2 x ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 2 x ln x + x$ , deci $f^{'} (1) = 1$ .

17. Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor

Exersezi pe: test de l'Hospital, monotonie și extreme (M2) · test de convexitate și tabelul de variație (M2).

Monotonia: unde derivata e pozitivă funcția crește, unde e negativă scade.
Punctele de extrem: derivata se anulează și își schimbă semnul — din plus în minus la maxim, din minus în plus la minim.
Convexitatea și concavitatea: semnul derivatei a doua: pozitivă — convexă, negativă — concavă.
Tabelul de variație: pune laolaltă zerourile derivatei, semnul ei și valorile funcției — cu el desenezi graficul.
Imaginea pe un interval de monotonie: pentru o funcție continuă și strict monotonă, valorile umplu intervalul dintre limitele de la capete.
Bijectivitatea prin stricta monotonie: o funcție continuă și strict monotonă pe un interval e bijectivă pe imaginea ei.

Cerință tipică: „Arătați că $e^{x} \geq x + 1$ pentru orice număr real $x$ .” Pentru $f (x) = e^{x} - x - 1$ , $f^{'} (x) = e^{x} - 1$ e negativă pe $(- \infty, 0)$ și pozitivă pe $(0, + \infty)$ , deci minimul este $f (0) = 0$ .

18. Legi de compoziție și clase de resturi

Exersezi pe: test supliment: legi de compoziție și grupuri (M2).

Parte stabilă: compusul a două elemente ale mulțimii rămâne în mulțime.
Tabla operației: pe o mulțime finită, toate compunerile într-un tabel; simetria față de diagonală arată comutativitatea.
Asociativitatea și comutativitatea: verificate cu elemente oarecare, nu pe exemple.
Elementul neutru: elementul $e$ cu $x * e = e * x = x$ , care trebuie să fie în mulțime.
Simetricul unui element: $x^{'}$ cu $x * x^{'} = x^{'} * x = e$ .
Forma factorizată a legii: legile de forma $x y + k x + k y + q$ se scriu, când $q = k^{2} - k$ , ca $(x + k) (y + k) - k$ , iar de aici neutrul și simetricul ies imediat.
Clasele de resturi modulo n: $Z_{n} = {\hat{0}, \hat{1}, \dots, n - 1}$ .
Operațiile cu clase de resturi: aduni sau înmulțești reprezentanții și iei restul la $n$ .
Elementele inversabile în $Z_{n}$ : $\overset{a}{^}$ are invers exact când $a$ și $n$ sunt prime între ele.

Cerință tipică: „Pe $R$ se definește legea $x * y = x y + 3 x + 3 y + 6$ . Determinați elementul neutru.” Legea se scrie $(x + 3) (y + 3) - 3$ ; din $x * e = x$ pentru orice $x$ rezultă $e + 3 = 1$ , deci $e = - 2$ .

19. Grupuri, inele și corpuri

Exersezi pe: test supliment: legi de compoziție și grupuri (M2) · test supliment: inele și corpuri (M2).

Definiția grupului: lege asociativă, cu element neutru și cu simetric pentru fiecare element; grupul e abelian dacă legea e și comutativă.
Grupuri de matrice cu un parametru: când $A (x) A (y) = A (x + y)$ , neutrul e $A (0)$ , iar inversa lui $A (x)$ e $A (- x)$ .
Morfisme și izomorfisme de grupuri: funcția $f$ duce compusul în compus; dacă e și bijectivă, e izomorfism.
Definiția inelului: două legi — adunarea, grup comutativ, și înmulțirea, asociativă cu element unitate — legate prin distributivitate.
Corpul: un inel în care orice element nenul are invers; $Z_{p}$ e corp pentru $p$ prim.

Cerință tipică: „Pentru $A (x) = (10 x 1)$ , arătați că $A (x) A (y) = A (x + y)$ .” Produsul este $(10 x + y 1)$ , adică $A (x + y)$ ; de aici neutrul $A (0) = I_{2}$ și inversa $A (- x)$ .

20. Polinoame

Exersezi pe: test supliment: împărțirea și divizibilitatea polinoamelor (M2) · test supliment: ecuații algebrice și relațiile lui Viète (M2).

Forma algebrică și gradul: gradul e cel mai mare exponent cu coeficient nenul.
Împărțirea cu rest: deîmpărțitul e împărțitorul ori câtul plus restul, iar restul are gradul mai mic decât împărțitorul.
Schema lui Horner: împărțirea la $X - a$ făcută doar cu coeficienții.
Teorema restului și teorema lui Bézout: restul împărțirii la $X - a$ este $f (a)$ ; $f (a) = 0$ înseamnă că $X - a$ divide polinomul.
Relațiile lui Viète pentru gradul 3 și 4: suma rădăcinilor, suma produselor lor câte două, câte trei (și, la gradul 4, produsul tuturor) sunt rapoarte între coeficienți și coeficientul dominant, cu semne alternante.
Descompunerea în factori peste C: un polinom de gradul $n$ se scrie ca produs de $n$ factori de gradul întâi.
Rădăcinile complexe conjugate: la coeficienți reali, rădăcinile nereale vin în perechi $a \pm bi$ .
Rădăcinile raționale: le cauți printre fracțiile $\frac{p}{q}$ cu $p$ divizor al termenului liber și $q$ divizor al coeficientului dominant.
C.m.m.d.c. a două polinoame: prin împărțiri succesive, cu algoritmul lui Euclid.
Polinoame ireductibile: peste $R$ , cele de gradul întâi și cele de gradul al doilea fără rădăcini reale.
Ecuația reciprocă de gradul al patrulea: după împărțirea la $x^{2}$ , substituția $y = x + \frac{1}{x}$ o reduce la o ecuație de gradul al doilea.

Cerință tipică: „Determinați restul împărțirii polinomului $f = X^{3} + 2 X - 1$ la $X - 2$ .” Restul este $f (2) = 8 + 4 - 1 = 11$ .

21. Primitive

Exersezi pe: test de primitive și tabelul primitivelor (M2) · test de integrare prin părți și substituție (M2) · test supliment: fracții simple (M2).

Primitiva unei funcții: $F$ e primitivă a lui $f$ când $F^{'} = f$ ; două primitive diferă printr-o constantă.
Liniaritatea integralei nedefinite: integrala unei sume e suma integralelor, iar constantele ies în față.
Primitivele puterilor și exponențialelor: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ pentru $n \neq = - 1$ , $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ , $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .
Primitivele trigonometrice și ale lui $\frac{1}{x}$ : rândurile cu sinus, cosinus, $\frac{1}{cos ^{2} x}$ , $\frac{1}{sin ^{2} x}$ și $\frac{1}{x}$ .
Primitivele cu $x^{2} \pm a^{2}$ : de exemplu $\int \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x = \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$ .
Integrarea prin părți: $\int f g^{'} = f g - \int f^{'} g$ — derivezi factorul care se simplifică prin derivare.
Schimbarea de variabilă: când lângă o funcție compusă apare derivata funcției din interior.
Raportul dintre derivată și funcție: $\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C$ .
Argumentul de forma ax + b: iei primitiva din tabel și împarți la $a$ — $\int e^{3 x} d x = \frac{e ^{3 x}}{3} + C$ .
Fracțiile simple: descompui funcția rațională, apoi integrezi fiecare fracție din tabel.

Cerință tipică: „Determinați primitivele funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 2 x + \frac{1}{x}$ .” $\int f (x) d x = x^{2} + ln x + C$ .

22. Integrala definită

Exersezi pe: test de integrala definită și formula Leibniz–Newton (M2).

Formula Leibniz–Newton: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ , cu $F$ o primitivă a lui $f$ .
Proprietățile integralei definite: liniaritate, aditivitate față de interval și monotonie.
Integrarea prin părți, cu capete: termenul $f g$ se calculează între capete, ca diferență.
Schimbarea de variabilă, cu schimbarea capetelor: capetele noi sunt valorile funcției din interior în capetele vechi.
Încadrarea integralei: dacă $m \leq f \leq M$ pe $[a, b]$ , atunci $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$ .

Cerință tipică: „Calculați $\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 2 x) d x$ .” O primitivă este $x^{3} - x^{2}$ , deci integrala este $(8 - 4) - 0 = 4$ .

23. Aplicații ale integralei: arii și volume

Exersezi pe: test de aplicații ale integralei, arii și volume (M2).

Aria subgraficului: pentru o funcție continuă și pozitivă, aria de sub grafic este integrala ei.
Aria dintre două grafice: integrezi diferența „funcția de sus minus funcția de jos”.
Aria când funcția schimbă semnul: pe porțiunile în care funcția e negativă, integrala intră cu minus.
Volumul corpului de rotație: $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .

Cerință tipică: „Calculați aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor $f (x) = x$ și $g (x) = x^{2}$ , pe intervalul $[0, 1]$ .” Pe $[0, 1]$ , $x \geq x^{2}$ , deci aria este $\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .

Cum folosești lista

Scrie fiecare formulă din memorie, cu condițiile ei, apoi compară. Cele greșite le notezi și le deschizi pagina.
Exersează fiecare temă: mai sus, la fiecare, e testul M2 sau lecția potrivită, cu exerciții.
Lucrează probe oficiale întregi, în trei ore, din arhiva de subiecte Bac M2, sau simularea de Bacalaureat M2. Cum arată proba: structura probei de Bacalaureat M2.

Întrebări frecvente

Ce formule trebuie știute pentru Bac M2 la matematică? Cele din programa de examen M_șt-nat, pentru clasele a IX-a – a XII-a: pe pagina asta sunt 182, pe 23 de teme. Problemele mari ale probei — Subiectele al II-lea și al III-lea — vin de obicei din matrice și sisteme, legi de compoziție sau polinoame, derivate și studiul funcției, primitive și integrale, adică temele 12–23 de mai sus.

După ce programă se dau subiectele de Bac M2 în 2027? După programa de examen din anexa nr. 2 la OMEN nr. 4.430/2014, programa M_șt-nat, la care trimite ordinul de organizare a Bacalaureatului din 2027. Programa școlară nouă de științe ale naturii (anexa nr. 28 la OMEC nr. 6.930/2025) intră la examen din 2030, la proba MAT_P2; pentru 2028 și 2029 nu s-a anunțat altă programă.

Ce formule de la M1 nu intră la M2? Rangul unei matrice și teoremele Kronecker-Capelli și Rouché, determinanții de ordin mai mare decât 3, limitele de șiruri, teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange, conicele, subgrupurile și ordinul unui element, sumele Riemann și limitele de șiruri calculate cu integrala. Lista pentru mate-info e pe pagina formule pentru Bacalaureat M1.

Intră numerele complexe și vectorii la Bac M2? Da. Numerele complexe intră sub formă algebrică: operații, conjugat, modul, puterile lui $i$ . Vectorii intră ca la mate-info: operații, descompunere, vectorul de poziție, centrul de greutate, produsul scalar, plus teoremele lui Menelaus și Ceva.

Intră geometria în spațiu sau ecuațiile diferențiale la Bac M2? Nu, după programa de examen în vigoare. Ele apar în programa școlară nouă de științe ale naturii, aplicată de la clasa a IX-a din 2026–2027, și contează pentru Bacalaureatul din 2030. De aceea formulele lor din culegerea noastră nu sunt pe pagina asta.

Ce formule de matematici financiare se cer la Bac M2? Procentele și TVA-ul, dobânda simplă și dobânda compusă, amortizarea liniară și pragul de rentabilitate, plus parametrii statistici: media, dispersia și abaterea standard. Sunt la tema 10, fiecare cu pagina ei.

Unde sunt formulele fiecărei clase de M2? Pe paginile clasei de pe traseul M2, la secțiunea de formule: clasa a IX-a, clasa a X-a, clasa a XI-a și clasa a XII-a. Acolo sunt formulele programei școlare a fiecărui an; pagina de față le adună doar pe cele de examen.